• Vektorrechnung zum Nachlesen
• Stochastik am 14.05.
• Stochastik ab 25.05.
• Binomialverteilung

1. Bearbeite das AB "ÜA: Rechnen mit Vektoren" zu Ende.
2. Sieh dir die folgenden drei Videos zu Drehungen in der Ebene und im Raum an: https://www.youtube.com/watch?v=svQGUgKjh0o, https://www.youtube.com/watch?v=6BDvzrxaFPE&t=195s, https://www.youtube.com/watch?v=9EfOgZqk9kQ Bitte verzweifel nicht, wenn du nicht alles verstehst! Ich werde das nie irgendwo abfragen.
3. Etwas einfacher ist die Anwendung von Matrizen für die Spiegelung von Punkten an den Koordinatenachsen. Lies dir dazu folgendes Blatt durch:

Schau dir das Video von DorFuchs an. Wir sind bislang inhaltlich immerhin bis 2:30 min gekommen und kennen die Geradengleichungen, die in 3:20 bis 3:40 erwähnt werden. Passt danach gut auf ;) Denn das kommt dann als nächstes.

1. Lies dir nochmal die Definition durch, die wir bereits für Geraden in Parameterdarstellungen notiert haben. (zur Erinnerung: Es gibt einen beliebigen Punkt der Gerade, von dem aus man r-mal in Richtung eines anderen Punktes gehen kann. Dieser erste Punkt liefert uns durch seinen Ortsvektor den "Stüzvektor" der Gerade. Durch den Verbindungsvektor mit dem zweiten Punkt ergibt sich also die Richtung der Geraden.) Du kannst die Definition auch auf LB S.123 nochmal in Ruhe nachlesen.
2. Notiere das folgende Beispiel unter der Definition im Merkteil:

      3. Bearbeite folgende Aufgaben: Die Lösung gibt es als Download.

      4. Wie kann man prüfen, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt?

       5. Bearbeite dazu LB S.125/5

• Bisher haben wir Geraden so gezeichnet.
• Es gibt aber noch eine weitere Methode. Und die geht so. Daniel Jung ist so eloquent in diesem Video :D ("klatscht hier dagegen..." bitte nicht als mathematische Beschreibung übernehmen!)
• Übernimm folgendes in deinen Merkteil:

Aufgabe 1

Überlege für folgende Spezialfälle, wie die Gerade jeweils im Raum liegt. Nimm ruhig einen Stift als Gerade und dein dreidiemsionales Koordinatensystem zum Aufklappen zu Hilfe.

• Es existieren nur zwei Durchstoßpunkte
• Es existiert nur ein Durchstoßpunkt
• 2 Durchstoßpunkte fallen auf denselben Punkt
• 3 Durchstoßpunkte sind derselbe Punkt

Aufgabe 2

Berechne für LB S.124/2 die Durchstoßpunkte der dreidimensionalen Geraden (Aufgaben d)-f) ) und zeichne so die Geraden.

Aufgabe 3

Bearbeite LB S.125/6

Paul stellte diese Frage bereits im Unterricht. Wenn wir bisher Geraden über y=mx+n angegeben haben und nun mit der Vektordarstellung arbeiten, muss sich doch die eine Darstellungsform in die andere umwandeln lassen. Die Antwort darauf ist nur bedingt einfach. Denn ja: Wir können lineare Gleichungen in eine Parameterdarstellung umwandeln. Aber nein: andersrum geht das nicht. Zumindest nicht für alle Geraden.

Woran könnte das liegen?

Einfach gesagt: Wir haben da ein Problem mit den Dimensionen. Lineare Funktionen, wie wir sie in Klasse 8 kennen gelernt haben, sind eben leider bloß zweidimensional. Das erkennt ihr auch an der Form y=mx+n. Da kommt leider kein z drin vor. Deshalb können wir lediglich die Geraden umwandeln, die in der xy-Ebene liegen. Alle linearen Funktionen der Form y=mx+n erfüllen das. Geraden in Parameterform aber nicht unbedingt.

Wie gehen wir also konkret vor, um die Geradengleichung: y=-3x-4 in eine Parameterdarstellung umzuwandeln?

Wie gehen wir entsprechend vor, um eine Geradengleichung: y=mx+n in eine Parameterdarstellung umzuwandeln?

Wie gehen wir vor, wenn wir eine Parameterdarstellung gegeben haben und sie in eine lineare Funktion umwandeln wollen?

Überleg zuerst selbst, wie es gehen könnte, bevor du mit der Lösung vergleichst und das Beispiel in deinen Hefter übernimmst (wird per Klick größer):

Aufgaben

Passende Aufgaben bietet LB S.125 mit den Aufgaben 10 und 11

Welche Möglichkeiten der Lagebeziehungen im Raum gibt es denn überhaupt? Man kann das ganz gut über zwei Stifte nachempfinden. Also nimm jetzt zwei Stifte in die Hände und untersuch mal, welche Möglichkeiten es da gibt.

Möglichkeit 1 dürfte trivial sein. Natürlich können zwei Geraden am Ende dieselbe Gerade sein. Die Geraden sind dann identisch.

Möglichkeit 2 ist ebenfalls einleuchtend: Die Geraden verlaufen im Raum parallel zueinander. (Was muss dann für ihre Richtung und damit für ihre RIchtungsvektoren gelten?)

Möglichkeit 3 ist auch schon bekannt: Die Geraden schneiden sich. Sie haben also genau einen gemeinsamen Punkt, aber unterschiedliche Richtungen.

Möglichkeit 4 kennen wir aus dem 2-dimensionalen Raum noch nicht. Wenn die Geraden keinen Schnittpunkt haben und auch nicht parallel zueinander verlaufen, nennt man sie windschief zueinander. Ihr könnt euch das so vorstellen, dass die Geraden in zwei zueinander parallelen Ebenen verlaufen, aber eben in verschiedenen Richtungen. Auch möglich ist es, zwei sich schneidende Geraden in der Höhe auseinander zu ziehen, dann werden die Geraden ebenfalls windschief.

Zeichne alle Möglichkeiten und ihre Bezeichnungen unter der obigen Teilüberschrift in deinen Hefter. (Zur Überprüfung bzw. Anregung, falls noch was unklar geblieben ist, kannst du die Abb. auf S.126 oben anschauen oder sieh dir dieses Video an.)

Wie kann man nun die Lagemöglichkeiten von Geraden zueinander überprüfen?

Ihr habt es sicher schon geahnt: Das ganze hat etwas mit den Richtungsvektoren zu tun. Sind die Geraden identisch oder parallel, haben sie zwangsläufig dieselbe Richtung. Also müssen die Richtungsvektoren in diesen beiden Fällen Vielfache voneinander sein. Sind die Richtungsvektoren keine Vielfachen, sind die Geraden automatisch windschief oder schneiden sich.

Man muss also nach Feststellung der Richtung noch heraus finden, ob die Geraden gemeinsame Punkte haben oder nicht. Haben sie gemeinsame Punkte, sind die Geraden je nach Richtung identisch oder schneiden sich. Gibt es diese Punkte nicht, sind die Geraden parallel oder windschief. Wir überprüfen das, indem wir die Gleichungen der Geraden gleich setzen und sehen, ob das lineare Gleichungssystem eine Lösung hat. Hat es keine, gibt es keine gemeinsamen Punkte. Hat es genau eine, gibt es einen gemeinsamen Punkt, nämlich den Schnittpunkt, den man dann entsprechend ausrechnen kann. Hat es unendlich viele Lösungen, gibt es auch unendlich viele gemeinsame Punkte. Die Geraden sind in diesem Fall identisch.

Daraus ergibt sich der folgende Algorithmus:

Hier ein paar Beispiele. Wenn ihr diese übernommen habt, könnt ihr als kleine Übung die Beispiele auf S.127 im LB bearbeiten. Die Lösungen sind da prakitscherweise direkt drunter ;)

Hier sind noch weitere Übungsaufgaben und Lösungen:

Außerdem könnt ihr dieses Trainingsblatt ausfüllen (die Lösung ist Seite 2).

Ich habe euch hier einen Test hochgeladen. Ihr solltet ihn bearbeiten und mir zuschicken. Darauf gibt es dann eine freiwillige Note für die 11/2.

Als erstes fragen wir uns hier: Was ist eigentlich eine Ebene? Wir kennen Ebenen aus dem Alltag zum Beispiel, wenn wir mit dem Fahrstuhl in verschiedene Ebenen eines Gebäudes gelangen. Aus mathematischer Sicht fasst man eine Ebene als eine Fläche auf, die keine Begrenzung hat, also ein unendliches zweidimensionales Objekt. Ähnlich wie eine Gerade ein unendliches eindimensionales Objekt ist. Und diese Ähnlichkeit zwischen Geraden und Ebenen spiegelt sich entsprechend in der Parameterdarstellung von Ebenen wieder. Wenn eine Gerade als eindimensionales Objekt eine Richtung und damit einen Richtungsvektor besitzt, ist es nur logisch, dass eine Ebene eben zwei Richtungen hat und deshalb zwei Richtungsvektoren in ihrer Parameterdarstellung hat. Übernimm dazu die folgende Skizze und Definition sowie die Beispiele.

Aufgabe

• Überleg zuerst, wie man eine Ebenengleichung aus drei Punkten aufstellen kann. Woher bekommt man dabei die Richtungsvektoren? Wie kann man außerdem überprüfen, ob vier gegebene Punkte in einer Ebene liegen. Lies dazu dann LB S.131
• Bearbeite LB S.132/3, 4, 7a)+b), 8, S.133/10+11a)+b)
• eine Auswahl weiterer Übungen mit Lösungen findest du hier.

Wir hatten bei den Gerade festgestellt, dass nur zweidimensionale Gleichungen auch in der Form y=mx+n dargestellt werden können. Im dreidimensionalen Raum geht das nicht, weil eine Gerade nur ein eindimensionales Objekt ist. Logische Konsequenz ist also, dass man über eine Koordinatengleichung, in der x, y und z vorkommen, ein zweidimensionales Objekt beschreibt, also eine Ebene.

Die Gleichung y=mx+n kann man umstellen in die Form -mx+y=n. Also so, dass alle Komponenten mit x und y auf der einen Seite stehen und das Absolutglied, in diesem Fall der y-Achsenabschnitt n, auf der anderen.

In dieser Form gibt es auch Ebenengleichungen E: ax+by+cz=d. Alle Punkte (x|y|z), die die Gleichung erfüllen, sind dann Punkte der Ebene E.

Ein Bsp. zum Übernehmen:    E: 3x+2y-5z=3      Frage: Liegen der Punkt D(2|1|1) und der Punkt F(0,5|3|-1) in der Ebene?

                                                       Punktprobe für D: 3*2+2*1-5*1=3 w.A. also ist D ein Element der Ebene

                                                       Punktprobe für F: 3*0,5+2*3+5=12,5=3 f.A. also ist F kein Punkt der Ebene

die große Frage ist nun natürlich: Wie kommt man zu dieser Darstellung?

Man muss ja irgendwie die Parameter einer Parameterdarstellung eliminieren und stattdessen x,y und z in die Gleichung bekommen. Das x,y und z ist aber tatsächlich schon immer da, wir haben es nur selten beachtet. Denn vor der Gleichung steht normalerweise ein Vektor x, der genau diese drei Komponenten hat.

Lies zur Umwandlung der Parameterform in die Koordinatenform die Beispiele auf LB S.135.

Sieh dir außerdem dieses Video von Daniel Jung an.

Ich möchte an dieser Stelle darauf hinweisen, dass es später mal einen deutlich einfacheren Weg geben wird, eine Parametergleichung in eine Koordinatengleichung einer Ebene umzuwandeln. Ähnlich wie beim Ableiten, das wir nach der Kenntnis der Ableitungsregeln kaum noch über die Definition machen. Also bitte nicht verzweifeln, wenn es sich nicht alles für dich sofort erschließt.

Daniel Jung arbeitet im Video mit dem Additionsverfahren, um die Anzahl der Gleichungen zu reduzieren. Ich möchte euch hier gern noch ein Beispiel mit dem Einsetzungsverfahren und dem entsprechenden Algorithmus zeigen:

Umwandlung der Koordinatenform in Parameterform

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie man von der Koordinatenform zur Parameterform gelangen kann.

Die erste ist so ähnlich wie die Umwandlung der zweidimensionalen Geradengleichung in Koordinatenform in die Parameterform. Dabei haben wir zwei Punkte der Geraden ausgerechnet und diese in Vektorform genutzt, um Stützvektor und Richtungsvektor aufzustellen. Das funktioniert auch bei Ebenen. Nur brauchen wir jetzt natürlich 3 dreidimensionale Punkte, damit es klappt.

Ein Beispiel:     Gegeben sei die Ebene E mit der Gleichung: -x+2y+3z=5

                            Um drei Punkte der Ebene zu erhalten, muss man eben beliebige Werte für zwei Koordinaten festlegen und 

                            die dritte fehlende Koordinate ausrechen. Um den Aufwand so gering wie möglich zu halten, kann man z.B.

                            x=y=0 wählen und z ausrechnen; und das lässt sich für die anderen Koordinaten einfach wiederholen. Damit

                            erhält man gleichzeitig die Spurpunkte der Ebene. Also Die Schnittpunkte der Ebene mit den

                            Koordinatenachsen.

                            Bei x=y=0 ergibt sich in der Ebenengleichung von oben: -0+2*0+3z=5, also 3z=5, woraus folgt z=5/3

                            Der Punkt (0|0|3/5) ist also ein Punkt der Ebene E.

                            Für x=z=0 ergibt sich: -0+2y+3*0=5, also 2y=5, also y=5/2. Der Punkt (0|5/2|0) gehört also zur Ebene.

                            Für y=z=0 folgt analog der Punkt (-5|0|0).

                            Aus diesen drei Punkten kann man nun verschiedene Parametergleichungen aufstellen. Zum Beispiel diese:

Die andere Möglichkeit besteht darin, zwei der Variablen aus der Koordinatengleichung (also zum Beispiel x und y) als die beiden Parameter s und t (man kann hier natürlich beliebige andere Parameternamen wählen) aufzufassen und die dritte Variable durch die beiden Parameter auszudrücken. Man geht also davon aus, dass x=s und y=t ist, setzt das in die Gleichung der Ebene ein und stellt dann nach z um.

im Beispiel:      -x+2y+3z=5 wird dann zu -s+2t+3z=5 und das umgestellt nach z liefert: z=5/3+s/3-2t/3.

                           Der nächste Schritt mag vielleicht kompliziert erscheinen, aber wenn wir uns ins Gedächtnis rufen, dass die

                           erste Zeile in der Parametergleichung einfach nur für x steht, die zweite für y und die dritte für z, wird es

                           vielleicht einfacher. Ich versuche mal, es euch mit Farben zu verdeutlichen:

In diesem Video werden beide Methoden nochmal erklärt.

Übung

Bearbeite LB S.136/5 und teste beide Varianten der Umwandlung. Die Lösung gibt es hier (per Klick vergrößerbar).

Mit einem Stift und einem Blatt Papier kann man sich ganz gut veranschaulichen, welche drei Möglichkeiten es für die Lagebeziehungen von einer Gerade und einer Ebene gibt. Es ist recht einfach nachzuvollziehen, dass die Gerade in der Ebene liegen kann oder parallel dazu verläuft oder sie in genau einem Punkt durchstößt.

Rechnerisch findet man das durch das Gleichsetzen der Geraden- und Ebenengleichung heraus bzw. indem man die Gerade in die Ebene einsetzt. In beiden Fällen führt das auf eine Gleichung oder ein Gleichungssystem, das eine, keine oder eine allgemeine bzw. unendlich viele Lösungen besitzt. Wie das genau funktioniert, könnt ihr hier an Beispielen sehen (in Beispiel 2 hat sich ein Fehler eingeschlichen - wer findet ihn außer Anouk? Auflösung unten):

der Fehler befindet sich hier in der letzten Zeile. Zwar habe ich r=-10 richtig ausgerechnet, allerdings nicht richtig eingesetzt. Klassischer Vorzeichenfehler. Natürlich müsste man als Schnittpunkt am Ende (-8|5|-17) herausbekommen.

Erkärungen liefert auch euer LB S.138-139 und die Aufgabe 10 auf S.140

Zur Übung könnt ihr folgende Dateien benutzen:

Betrachtet man zwei zweidimensionale Objekte im dreidimensionalen Raum, gibt es nur drei Lagemöglichkeiten: Die Ebenen sind parallel, identisch oder schneiden sich in einer Geraden. Es gibt keine Möglichkeit im unbegrenzten Raum, dass die Ebenen windschief zueinander sind. (Wenn wir wieder unser Denken in einer höheren Dimension schulen wollen - im vierdimensionalen Raum müsste das möglich sein, zwei Ebenen windschief zueinander anzuordnen.)

Eine Übersicht über die drei Varianten findet ihr im LB S.141. Es schadet mit Sicherheit nicht, diese zu übernehmen.

Rechnerisch bietet sich auch hier wieder das Gleichsetzungsverfahren an. Setzt man also die Gleichungen zweier Ebenen gleich, kann man bei unendlich vielen Lösungen von einer Schnittgeraden ausgehen (wenn die Gleichungen nicht dieselbe Ebene beschreiben), bei keiner Lösung weiß man, die Ebenen sind parallel.

Daniel Jung hat zu diesem Thema mehrere Videos gemacht, die alle sehenswert sind:

• beide Ebenen in Parameterform
• eine Ebene in Parameterform, eine in Koordinatenform
• beide Ebenen in Koordinatenform

Ihr könnt euch bereits mit Aufgaben der LB S.143 befassen. Da würde ich gern im live-Unterricht ansetzen, falls dieser nächste Woche tatsächlich stattfinden wird.

• Ich habe eben diese tolle Seite gefunden. Wenn ihr euch unterfordert fühlt, könnt ihr hier spannende Aufgaben finden, um mal etwas Schwereres zu machen.
• Wenn euch langeweilig ist, könnt ihr vielleicht mal ein Logical lösen - eine große Auswahl gibt es hier.