Binomialverteilung

Definition: Eine Bernoulli-Kette ist ein n-stufiger Zufallsversuch, wobei

• pro Stufe nur die Ereignisse "Erfolg" und "Misserfolg" eintreten können
• die WSK für E und M bei allen Stufen unverändert bleibt.

Bezeichnung: p...Erfolgswahrscheinlichkeit, q=1-p... Misserfolgswahrscheinlichkeit, B(n,p)... Binomialverteilung mit n und p

Bemerkung: Die Zufallsgröße X bezeichnet immer die Anzahl der Erfolge ( k Erfolge bei n Ziehungen)

Merke: In einer Bernoulli-Kette B(n,p) sind k Treffer wie folgt wahrscheinlich:

weiterführende Übung:

Die Wahrscheinlichkeit, einen Jungen zu bekommen, liegt bei ca. 51,4%.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Familie mit 12 Kindern genau 6 Jungen hat.

b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für n=4 an.

c) Bestimmen Sie, wie wahrscheinlich es ist, dass unter 6 Kindern einer Familie mindestens 4 Jungen sind.

Bsp.:

In der Kantine nehmen erfahrungsgemäß 60 von 100 Mitarbeitern ihr Mittagessen ein.

Schätzen Sie zunächst die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse und bestimmen Sie deren Wert im Anschluss:

a) Genau 3 Mitarbeiter nehmen ihr Mittagessen in der Kantine ein.

b) höchstens 3

c) mindestens 3

d) genau 60

e) weniger als 60

f) mehr als 60

Merke: Interessiert nicht nur eine genaue Anzahl an Erfolgen in einer Bernoulli-Kette, sondern ein ganzer Bereich, verwendet man die kumulierte Wahrscheinlichkeit.

Für den Umgang mit dem Summenzeichen bzw. als weiteres Beispiel findet ihr hier die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis n und aller Quadratzahlen von 1 bis n².

Bsp.:   Eine binomialverteilte Zufallsgröße hat die Kenngrößen p=0,1 und n=50. Mit wie vielen Erfolgen ist zu rechnen?

Merke: Für B(n,p) gilt: Der Erwartungswert ist das Produkt aus Trefferwahrscheinlichkeit und Versuchsanzahl. Im Durschnitt ist also jeder ___________ Versuch erfolgreich.

                         E(X)=µ=n*p

Übung:  1) Ein reguläres Tetraeder wird geworfen. Jeder ____ Wurf zeigt im Schnitt dieselbe Zahl.

                2) Ein reguläres Oktaeder...

                3) In einer Urne sind nummerierte Kugeln 1,2,...,m. Wie oft wird bei n Ziehungen die Zahl 3 erwartet?

                4) In einer Kontrolle werden 95% der Werkstücke richtig beurteilt. Wie viele falsche Entscheidungen sind bei 200

                     Kontrollen zu erwarten?

Wdh.:   Die Varianz und die Standardabweichung sind Maße für die voraussichtliche Streuung von Messwerten um den

             Erwartungswert. Die Standardabweichung ist dabei genauer als die Varianz und wird wesentlich häufiger verwendet

             (sie berechnet sich auch aus der Varianz).

Def.:

Def. für Bernoulliketten:

Bsp.1:

Gesucht ist die Standardabweichung für die Anzahl der Jungen in einer Familie mit 6 Kindern. Interpretieren Sie das Ergebnis.

p=0,514, n=6

X... binomialverteilt, Anzahl Jungen

E(X)=np=3,084σ=sqrt(npq)=6*0,514*0,486=1,5

Interpretation: Die meisten Familien mit 6 Kindern haben zwischen 1,5 (E-σ) und 4,5 (E+σ) Jungen. Einen oder keinen Jungen zu haben, sowie fünf oder sechs Jungen zu haben, liegt eher außerhalb des zu erwartenden Bereichs.

Spannender ist das Ganze, wenn man eine binomialverteilte Zufallsgröße als Grundlage für einen nicht binomialverteilten Zusammenhang nutzt. Dann muss man allerdings die erste Definition der Standardabweichung verwenden.

Bsp.2:   

Eine zwölfte Klasse veranstaltet am letzten Schultag das folgende Glückspiel. Gegen einen Einsatz von 1 € darf jeder einmal würfeln. Fällt eine 6, so erhält er 6 € von der Bank, bei allen anderen Zahlen erhält er nichts. Die Schulleitung genehmigt das Spiel, aber im Nachhinein melden die Eltern heulender Fünftklässler ethische Bedenken an.

a) Zeigen Sie, dass das Spiel auch bei 5 Durchgängen fair bleibt.

b) Berechnen Sie die Standardabweichung nach 5 Spielen.

c) Geben Sie das Pleiterisiko in den ersten 5 Spielen für einen Fünftklässler an, der sein gesamtes Taschengeld von 5 € einsetzt.

Lösung

Sigmaregeln

Diese Werte liefern gute Näherungen für σ>3

Was sagt uns das? Das bedeutet zum Beispiel, dass rund 68% der Werte im Bereich E-σ bis E+σ liegen.

Einen beliebten Aufgabentyp dazu liefert folgendes Beispiel.

Bsp.:

Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 100 Fragen mit je vier Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Jemand rät bei allen Aufgaben. Geben Sie ein Intervall an, in dem die Anzahl der richtigen Antworten zu a)95% b)68% liegen.

Lsg. für a):

X...binomialverteilt, Anzahl richtiger Antworten

n=100, p=0,25

E(X)=40

σ=4,33>3

1,96*σ=8,48

95% der Werte liegen im Intervall [31,5;48,5]. Es ist also zu 95% wahrscheinlich, dass der Ratende zwischen 32 und 48 richtigen Antworten erreicht.

Bsp.: Etwa 9% der männlichen Bevölkerung in Deutschland hat eine Rot-Grün-Schwäche.
Bestimmen Sie, wie groß eine Gruppe von zufällig ausgewählten Männern mind. sein muss, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 85% mindestens einer eine Rot-Grün-schwäche hat.

Lsg.: X...binomialverteilt, Anzahl der Rot-Grün-Sehschwachen; n=?, p=0,09

Bsp.: Etwa 9% der männlichen Bevölkerung in Deutschland hat eine Rot-Grün-Schwäche.
Bestimmen Sie, wie groß eine Gruppe von zufällig ausgewählten Männern mind. sein muss, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 85% mindestens fünf eine Rot-Grün-schwäche haben.

Lsg.: X...binomialverteilt, zählt Anzahl der Rot-Grün-Sehschwachen; n=?, p=0,09

Mit dem CAS kann man eine Tabelle erstellen. Wir brauchen dafür tatsächlich sogar eigentlich nur die oberste Zeile des oben beschriebenen Rechenweges (die Umformungen sind wieder dafür da, wenn man nur den Befehl binomialCDf für X<=k zur Verfügung hat). Geh dafür ins Menü Grafik und Tabelle. Gib als Funktion ein "binomialCDf(5,x,x,0.09)" - wir wollen den Bereich von 5 bis n (im CAS x) finden bei n (im CAS x) getesteten Männern und der Trefferwahrscheinlichkeit 0,09. Drück dann auf das Tabellensymbol. Ggf. musst du die Einstellungen für die Wertetabelle noch ändern, um x-Werte zwischen 0 und ca. 100 sehen zu können.

Nun scrollst du in der Tabelle, bis zu dem Wert, an dem die gesuchte Grenze von 0,85 überschritten wird. Du solltest sehen, dass dies ab einem Wert von x(bzw.n)=80 der Fall ist. Denn es gilt =0,8569. Es müssen also mindestens 80 Männer befragt werden.

Hier gibt es Übungausfgaben und Lösungen zur Wiederholung der Standardabweichung bei nicht binomialverteilten Zufallsgrößen.

Hier ist eine Online-Übung zur Standardabweichung in Bernoulli-Ketten.

Hier gibt es eine super Zusammenfassung mit allen möglichen Themen zur Binomialverteilung und natürlich Daniel Jung.